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근방 필터

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일반위상수학에서 근방 필터(近傍filter, 영어: neighbo(u)rhood filter)는 주어진 점의 모든 근방들로 구성된 필터이다. 일반위상수학에서 필터는 점렬그물의 일반화로 사용되며, 필터가 주어진 점에 수렴(영어: converge)하는 것은 필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함하는 것이다.

정의

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위상 공간 부분 집합 근방들의 집합

멱집합 속의 필터를 이루며, 이를 근방 필터 또는 근방계(近傍系, 영어: neighbo(u)rhood system) 라고 한다. 의 점 근방 필터한원소 집합 의 근방 필터를 뜻하며, 로 표기한다.

근방 필터 공시작 집합 (즉, 이 되는 부분 집합 )을 국소 기저(局所基底, 영어: local base)라고 한다.

필터의 수렴

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위상 공간 위의 필터 및 점 가 주어졌다고 하자. 만약 라면, 수렴한다(영어: converge)고 하고,

로 표기한다. 이 경우, 극한(영어: limit)이라고 한다.

보다 일반적으로, 위의 필터 기저 및 점 에 대하여, 만약 라면, 수렴한다고 한다.

성질

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위상 공간 위의 자명한 필터 는 모든 점에 수렴한다.

위상 공간 의 모든 점 가산 집합인 국소 기저를 갖는다면, 제1 가산 공간이라고 한다.

분리 공리

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위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 전체가 아닌, 위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
  • 임의의 두 점 에 대하여, 라면, 이자 이다.
  • 임의의 두 점 에 대하여, 이자 이며 열린집합 가 존재한다.
  • 하우스도르프 공간이다.

그물과의 관계

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임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다.

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이산 공간 의 점 의 근방 필터는 주 필터 이다. 비이산 공간 의 점 의 근방 필터는 이다.

거리 공간 에서, 다음과 같은 집합은 점 의 국소 기저를 이룬다.

참고 문헌

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외부 링크

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